パンのように見える不思議な物体が人気で驚いているＫＷＣ企画世話人です。
ところで、昨日の図形問題は楽しんでいただけたでしょうか？
半径２の円に半径３の円を接するようにおいて、大きな円が重ならいように置くときに、最大何個までおけるか？という問題でした。
では解答です。上の図を見てください。
二つの円が接するところで、お互いの円の中心を結び線を引きます。この線分の長さは５になります。半径２の円の中心Ｏから半径３の円に接線を引いて、その接点Ｑと半径３の円の中心Ｐを結びます。すると三角形ＯＰＱは、直角三角形で斜辺の長さが５で、もう一つの辺の長さが３ですから、あと一つの辺の長さも４とわかります。
角ＰＯＱをａと表すことにすると、ｎ個の大きな円を置くと
ｎｘ２ｘａ ≦ ３６０度
ａ ≦ １８０度／ｎ
という関係が成立するだけ、大きな円が置けることになります。
ｓｉｎ（ａ）＝３／５＝０．６
ということは分かっても、角度ａはすぐにはわかりそうにありません。
なので、ｓｉｎ（ａ）と ｓｉｎ（１８０度／ｎ）の値を比べていくことにします。
大きな円は３個は確実におけますから、それより大きいところを見ていきましょう。
４個の場合を考えましょう。ｎ＝４です。
ｓｉｎ（１８０度／４）
＝ｓｉｎ（４５度）
＝１／√２＝√２／２
≒１．４１４／２
≒０．７０７
√２はヒトヨヒトヨニヒトミゴロでしたね（笑）。
０．６＝ｓｉｎ（ａ）＜ｓｉｎ（１８０度／４）≒０．７０７となって、４個がおけることが数式の上からも確かめられたわけです。
では、５個はおけるか？
ｎ＝５
ｓｉｎ（１８０度／５）
＝ｓｉｎ（３６度）
あれ、いつぞや出てきましたね～（笑）。そうです。正五角形のときにでてきました。
ｓｉｎ（３６度）＝｛√（１０－２√５）｝／４
という２重根号のややこしいやつでした。
とりあえず、ニ乗してみましょう。二重根号がはずせますから。
ｓｉｎ（３６度）のニ乗＝（１０－２√５）／１６
≒（１０－２ｘ２．２３６）／１６
≒０．３４５５
√５は、フジサンロクオームナクです（笑）。
ｓｉｎ（ａ）＝０．６ ですから
ｓｉｎ（ａ）のニ乗＝０．３６
ということで、
ｓｉｎ（ａ）のニ乗 ＞ ｓｉｎ（１８０度／５）のニ乗
となってしまいました。ということは、両者とも正の数ですから、
ｓｉｎ（ａ）＞ ｓｉｎ（１８０度／５）
ということになって、大きな円５個は置けないということがわかります。
ちなみに６個は ｓｉｎ（３０度）＝０．５＜０．６＝ｓｉｎ（ａ） ですから、置けないことがすぐにわかります。
答えは、半径３の円は４個まで接するようにおけるということになります。
でも、ｓｉｎ（ａ）のニ乗とｓｉｎ（３６度）のニ乗の差がとても小さいので、いい加減な作図をすると５個でも置けちゃうと作図する場合があるかもしれません。注意が必要です。
この解き方は、ｓｉｎ（３６度）が必要なので、高校生の数学を学んでいないと解けないわけです。
いつもよりたくさん飲めた方々がいらっしゃることを祈っております。
#その他