昨日から帰省して実家でのんびりしているＫＷＣ企画世話人です。
では、昨日の問題の解答です。扇形の面積を求め方が必要になります。
まず、２番目の図のように点に名前をつけることにします。
扇形ＰＢＱの面積から三角形ＰＢＯと三角形ＱＢＯの面積を引き算するという作戦にでます。
必要なのは、角ＰＢＱの大きさと三角形ＰＢＯの底辺の長さＰＯです。高さは１／２Ｒになるから。
与えられた条件を整理します。
ＡＢＣＤは一辺の長さがＲの正方形。
図中の円弧の半径もＲ。
三角形ＰＢＣに注目してください。
点Ｐは円弧ＡＣ上にありますからＰＡ＝Ｒ
また点Ｐは円弧ＢＣ上でもありますからＰＣ＝Ｒ
もちろんＢＣ＝Ｒですから、三角形ＰＢＣは正三角形です。
すると角ＰＢＣ＝６０度です。
また、角ＤＢＣ＝４５度なので、
角ＰＢＯ＝角ＰＢＣ－角ＤＢＣ＝６０度－４５度＝１５度
同様に、角ＱＢＯ＝１５度
それ故、角ＰＢＱ＝角ＰＢＯ＋角ＱＢＯ＝３０度
これで扇形ＰＢＱの面積がわかります。
扇形ＰＢＱの面積 ＝ 円周率ｘＲｘＲｘ３０度／３６０度
＝ ＰＩｘ（Ｒの２乗）／１２
となります。ギリシア文字が化ける可能性があるので、円周率のパイはＰＩと書くことにします。
次に三角形ＰＢＯの底辺ＰＯの長さを求めます。
ＰＯ＝ＰＥ－ＯＥ ですね。
ＯＥ＝Ｒ／２とすぐにわかります。
ＰＥは、角ＰＣＥが６０度の三角形ＰＣＥの性質から求められます。
ＰＥ＝Ｒｘ√３／２
つまり、ＰＯ＝Ｒｘ（√３ － １）／２
三角形ＰＢＯの面積＝（１／２）ｘ（Ｒ／２）ｘＲｘ（√３ － １）／２
＝（Ｒの２乗）ｘ（√３ － １）／８
求める面積＝扇形ＰＢＱの面積 －（三角形ＰＢＯの面積の２倍）
＝ ＰＩｘ（Ｒの２乗）／１２
－２ｘ（Ｒの２乗）ｘ（√３ － １）／８
＝（ＰＩ ＋ ３ － ３√３）ｘ（Ｒの２乗）／１２
となります。めでたしめでたし。
さて、今日は朝から父と日本酒とウイスキーをしこたま飲む予定です（笑）。
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