数学者のガウスは偉大だったことをしみじみと感じているＫＷＣ企画世話人です。
みなさんのまわりには、正五角形を描ける天才小中学生がいましたか？わたしの周囲には残念ながらいませんでした。
まず、正五角形を書く前に、その性質をみる必要があります。
一番上の図をみてみましょう。単位円（半径１の円）に内接する正五角形があったとします
ZY＝OY ｘ sin(36度)＝sin(36度) で、sin(36度)の値が必要となります。
36度 x 5 = 180度を思いついた方は、sin(2×36度) = sin(180度-2×36度) = sin(3×36度) という関係が得られて、他ごちゃごちゃと三角関数の倍角の公式と３倍角の公式を使って、sin(36度) = √(10 – 2√5)/4 と解くことができて、XY = √(10 – 2√5)/2 が得られます。
つまり、単位円に内接する正五角形の一辺は √(10 – 2√5)/2 となります。
面倒を一つなくすために、単位円ではなく、半径２の円を考えることにすれば、正五角形の一辺の長さは √(10 – 2√5) ということがわかります。
とても面倒そうに見えますが、√5をどっかで作り出せばなんとかなると考えます。
では、正五角形を書くことにします。
２番目の図をみてください。
直交座標をコンパスで準備して、円をひとつ書きます。半径は２とします。
次に、元の円とX軸の交点（青の点）を中心に同じ半径の円を書きます。元の円との交点が二つできて、この２点を結ぶ線とＸ軸との交点をＢとします。この交点は、半径の半分の長さですから、OB=1となります。
AB = √(OBの2乗 + OAの2乗)
= √(1+4) = √5
AB=√5 となって √5 を創りだしたことがわかります。
３番目の図に移ります。
点Ｂを中心にABの長さを半径、つまり半径√5 の円を描きます（赤で示してあります）。この円とＸ軸との交点をＣとします
OC = BC – OB = AB – OB = √5 – 1
AC ＝ √（OAの2乗 + OCの2乗）
＝ √｛（2の2乗） + （√5 – 1）の2乗｝
＝ √｛ 4 + 5 – 2√5 +1｝
＝ √（10 – 2√5 ）
ということで AC は求める正五角形の一辺の長さと同じだったとわかったわけです。
おまけ、 差はごく小さいのですが AC ＞ AB です。
あとは、ACの長さをコンパスで測って、点Ａから元の円の円周を等分して、各点を結べばよいわけです。
四番目の図にそれを示しました。
ガウスはこれを正１７角形でやってみせたのです。やはり偉大でした。
これで今晩のお酒が美味しく飲めますか～？
#その他