昨日は、一歩も外出していないエアコンの虜なＫＷＣ企画世話人です。
さて、昨日の解答です。
図を使わないで書くのは結構大変でした（苦笑）。
以下の証明は、わたしが思いつくまま書いたので、間違いがあったら指摘してください。
きっと他の証明方法もあろうかと思います。
円の周の長さ＝２ｘ（円周率）ｘ（半径）は使えるものとしました。
１）円周率は３より大きい
円に内接する正六角形を描いてみましょう。
正六角形の各頂点と円の中心を結ぶと正三角形が６つできます。
この正三角形の辺の長さは皆半径と同じです。
ａ）内接する正六角形の外周の長さ＝６ｘ（半径）
ｂ）円周＝２ｘ（半径）ｘ（円周率）
ｂ）＞ａ）なので 円周率＞３
２）円周率は３より大きく、２√３より小さい
今度は、円に外接する正六角形も描いてみてください。
同じように外接正六角形の各頂点と円の中心を結ぶと
内接する正三角形よりも大きな正三角形ができますが、
辺の長さは、３０度の角をもつ直角三角形の辺の比を
使って｛２ｘ（半径）／√３｝と書けます。
だからこの外接三角形の周の長さは、
６ｘ｛２ｘ（半径）／√３｝＝（半径）ｘ４√３
ｃ）円周率が３より大きいのは１）と同じ。
ｄ）円に外接する正六角形の外周は４√３
円周＜ｄ）なので、円周率＜２√３
√３を１．７３２と近似すると
３＜（円周率）＜３．４６４ となります
３）円周率は３．１０より大きく３．２５より小さい
今度は正１２角形を使います。三角関数が必要です。
円に内接する正１２角形の一辺の長さは
（半径）ｘ２ｘｓｉｎ（１５度）
というこで、内接する正１２角形の周の長さが
２４ｘ（半径）ｘｓｉｎ（１５度）
円に外接する正１２角形の一辺の長さは
（半径）ｘ２ｘｔａｎ（１５度）
というこで、外接する正１２角形の周の長さが
２４ｘ（半径）ｘｔａｎ（１５度）
円の周長は２ｘ（半径）ｘ（円周率）ですから
１２ｘｓｉｎ（１５度）＜円周率＜１２ｘｔａｎ（１５度）
半角の公式が必要となります（なんだったら導けばいいんですけど）
｛ｓｉｎ（１５度）｝の２乗＝［｛１－｛ｃｏｓ（３０度）｝］／２
｛ｃｏｓ（１５度）｝の２乗＝［｛１＋｛ｃｏｓ（３０度）｝］／２
ｔａｎ（１５度）＝｛ｓｉｎ（１５度）｝／｛ｃｏｓ（１５度）｝
で、ｓｉｎ（３０度）＝１／２、ｃｏｓ（１５度）＝√３／２
なので、あとは、√の計算なんぞをぐりぐりと計算すればＯＫです。なんなら三角関数表を持ってきましょう。
１２ｘｓｉｎ（１５度）＜円周率＜１２ｘｔａｎ（１５度）
３．１０８＜円周率＜３．２１６
となります。
同じ手法で、正２４角形を使うと次のようになります。
２４ｘｓｉｎ（７．５度）＜ 円周率 ＜２４ｘｔａｎ（７．５度）
これは、平方根が三重になって計算が面倒なので、ここから先は自分で計算するより三角関数表を使ったほうが楽です（笑）。でも、ここまでやると
３．１３２＜円周率＜３．１６０
となって、小学校で習う円周率３．１４にかなり近くなってきます。
ちなみにこの手法では、もっと細かく計算できます。
正４８角形で ３．１３９＜円周率＜３．１４６
正９６角形で ３．１４１＜円周率＜３．１４３
正１９２角形で３．１４１＜円周率＜３．１４２
となります。は～面倒くさ、でも、確実（笑）。
４）円の面積＝（円周率）ｘ（半径）ｘ（半径）
これは高校生のときに「数学III」で習います。三角関数の積分が必要になるのですが、ブログでは積分の式がうまく書けないので、このやり方はやめておきます。
でね、そりゃねーだろという証明があるんですよ。
円周＝２ｘ（円周率）ｘ（半径ｒ）で書けることを前提にしちゃうと
円の面積は円周を半径ｒで０からｒまで定積分する
とできちゃういます。え～でしょ？反則って言わないでくださいね（笑）。だって、１）～３）も円周＝２ｘ（円周率）ｘ（半径）を前提としちゃったし。と開き直ってみます。
小学校で習うこの円の面積の公式の証明は意外と難しいと分かっていただけでしょうか。
#徒然日記