昨日の記事は沢山アクセスがあってちと緊張しているＫＷＣ企画世話人です。
図形の問題の解答です。この問題は１９６２年の東大入試にもでたことがある問題なのですが、よ〜く考えると中学で習うことだけで解けるという問題だったりします。
２番目の図をみてください。
実は、７つの円がつくる交点をこの図のように結んでみると意外に簡単そうだと気が付きます。
左側の図は相変わらず煩雑なので、右側をみてください。
こうやって見ると、全て同じ扇形６個と全て同じ三角形１２個を足し合わせるだけで、この面積が過不足なく計算できることになります。
では、扇形の面積は、半径Ｒが分かっていますから、あとは中心角だけわかればＯＫですね。
三番目の図に移ります。
黄色の円に注目すると、中心角は３６０度から４つの正三角形の角を引き算すればよいことがすぐにわかるので、１２０度ということがわかります。残りの扇形も一緒です。確かめてみてください。
ということで、一つの扇形の面積は、円周率をＰＩと置いて、
ＰＩｘＲｘＲｘ（１２０／３６０）
＝ＰＩｘＲｘＲｘ（１／３）
となります。
次は三角形です。これもよ〜く見ると、辺の長さが全て半径Ｒに等しいことがわかりますから、一辺の長さがＲの正三角形の面積が分かればよいことになります。
（１／２）ｘＲｘ｛（√３／２）ｘＲ｝
＝（√３／４）ｘＲｘＲ
あとは、掛け算と足し算です。
６個の扇形の面積 ＋ １２個の正三角形の面積
＝６ｘＰＩｘＲｘＲｘ（１／３）＋１２ｘ（√３／４）ｘＲｘＲ
＝２ｘＰＩｘＲｘＲ ＋ ３√３ｘＲｘＲ
＝（２ｘＰＩ＋３√３）ｘＲｘＲ
めでたし、めでたし。
もう一つ、別の解き方があります。
次の図を見てください。
左側の図に注目してみると、黄色の線で囲まれた図形の面積の１２倍の面積が青色の部分と同じ面積とわかります。
黄色の扇形の部分は、６０度の扇形なので
ＰＩｘＲｘＲｘ（６０／３６０）
＝ＰＩｘＲｘＲｘ（１／６）
黄色の三角形の部分は、底辺がＲ、高さが（√３／２）ｘＲなので
（赤の正三角形と同じ面積とわかります）
（１／２）ｘＲｘ｛（√３／２）ｘＲ｝
＝（√３／４）ｘＲｘＲ
１２ｘ｛ＰＩｘＲｘＲｘ（１／６）＋（√３／４）ｘＲｘＲ ｝
＝２ｘＰＩｘＲｘＲ ＋ ３√３ｘＲｘＲ
＝（２ｘＰＩ＋３√３）ｘＲｘＲ
当たり前ですが、同じ答えになります。
なんでこっちの図形を思いついたかというとこの図の方が綺麗だと感じたから（笑）。
右側の図はきれいでしょ？
さて、この問題を考えることで沢山飲めたでしょうか？
#その他